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Modèle simpliste de conversion du forçage radiatif en hausse de température

(Je ne retrouve plus le lien du cours en question sur MIT OpenCourseWare ⭎)

🌎 Modèle de scénarios climatiques-jouets (type scénarios RCP du GIEC) hyper-simpliste, “à l’ordre 0”, avec un tas d’hypothèses simplificatrices implicites, mais qui fournit les bons ordres de grandeurs 🤯 (je ne sais pas si c’est par chance ou si le raisonnement est “le bon raisonnement physique à l’ordre 0” -en négligeant aérosols et feedbacks-) :

On peut déduire la hausse de température 🌡au-dessus des océans et au-dessus des terres émergées en 2100, à partir uniquement du (delta de) forçage radiatif ♨ induit par les émissions de GES, qui se mesure en W/m², c’est-à-dire en Joules/s/m², et il vaut ~2 W/m² (voir image) : le surplus de puissance thermique dans l’atmosphère.
rem : peu importe ici que ça soit 2, 3,7 ou 4 W/m², on pourrait prendre une valeur paramétrique, le but est de faire un raisonnement qui soit valable pour n’importe quelle valeur. Il suffit de remplacer dans les expressions.

Donc uniquement à partir du chiffre de 2 W/m², à partir de ce seul “paramètre de modèle climatique”, on peut déduire assez simplement la hausse de température en 2100 aussi bien au-dessus des océans qu’au-dessus des continents, si le raisonnement est correct ^^

Et ce forçage radiatif, on peut le déterminer, lui aussi si on veut, à partir de raisonnements fondamentaux : à partir de la concentration de GES dans l’atmosphère, et donc de la fraction de rayonnement terrestre de corps noir qui reste “piégée” dans l’atmosphère, ce qui détermine le forçage radiatif : la différence de “puissance thermique” dans l’atmosphère.

Cela constituerait un modèle “complet” simplifié de “sensibilité climatique” (cfr image), qui relie une concentration de GES avec une hausse de température, et qui est un paramètre central d’un modèle prédictif du climat. Il permet de dire quelle hausse de température globale vous crééez en l’an N lorsque vous faites 1km en voiture aujourd’hui.

Mais le raisonnement ci-dessous suppose cette valeur “intermédiaire” de 2 W/m² déjà donnée/calculée. C’est celle fournie par la figure ci-dessous, extraite de l’AR5 ou 6 du GIEC WGI. Un début de potentiel raisonnement “ab initio” qui fournirait cette valeur de 2 W/m² est disponible ici.

Pour déterminer la hausse de température, il suffit d’intégrer le forçage radiatif jusqu’à 2100, pour obtenir le surplus total d’énergie (chaleur) et de la convertir en hausse de température avec la capacité thermique, en considérant les fractions d’eau et de terre à la surface.

Trois scénarios-jouets sont considérés (seuls les deux premiers sont représentés sur l’image ci-dessous, le 3ème correspond à un tronçon de parabole (un forçage radiatif quadratique))

Cliquer sur un scénario pour le dérouler et voir les calculs:

Scénario A 🥵

On peut considérer un scénario A où ce (delta de) forçage radiatif est constant jusqu’en 2100.
Cela correspond à un scénario où les émissions de GES anthropiques diminueraient progressivement.

En effet, si les émissions stoppaient “brutalement” en 2000, par inertie du système climatique (et temps de séjours dans l’atmosphère des GES), le (delta de) forçage radiatif serait décroissant jusqu’en 2100. Pour qu’il reste constant, il faut donc une “compensation” qui correspond à ces émisisons cumulées (quoique décroissantes) entre 2000 et 2100.

2 W/m², ça fait une puissance totale P de 2 * S Watt, où S est la surface de la terre:

S = 4πR² = 4π*(6371km)² = 510 millions km² = 510 * 10⁶ * (10³)² m²

Donc P = 2 * 510 * 10¹² ~ 10¹⁵ Watts sur la surface de la terre 🌎

Donc le surplus d’énergie reçu par la surface de la terre, entre 2000 et 2100 (en faisant l’hypothèse que le (delta de) forçage radiatif reste constant) :

E = P * Δt
E = 10¹⁵ W * (100 * 365 * 24 * 3600) s
E = 10¹⁵ * 3,15 * 10⁹ (W.s) = 3,15 * 10²⁴ Joules

A noter qu’en appelant A = 365*24*3600 = 3,15 * 10⁷ = le nombre de secondes dans une année, on a donc:

E = P * Δt
E = (2 * S) Watt * (100 * A) secondes
E = 200 * A * S Joules
Eᴬ = E ~ 3,15 * 10²⁴ Joules

Ces Joules sont répartis à 2/3 sur les océans et 1/3 sur les terres.

En googlant que le volume des océans est de 1,37 milliards de km³ (pour éviter de devoir calculer la différence de volume entre 2 boules dont les rayons diffèrent de la profondeur moyenne des océans, même si ce n’est pas non plus la mer à boire ^^), et en approximant les plaques continentales comme ayant 500m d’épaisseur, leur donnant comme volume total :

V ~ S * (1/3) * 500m

—rem : la croûte continentale fait ~35km d’épaisseur, voir remarques en images, mais en régime “stationnaire” on peut sans doute approximer une “profondeur de diffusion” constante et valant quelques centaines de mètres—

La masse des océans:

M_o = 1000 kg/m³ * 1,37*10⁹*(10³)³ m³
M_o = 1,37 * 10²¹ kg

La masse “réchauffée” des continents:
M_c = ~5g/cm³ * V = 5kg/dm³ * V = 5 tonnes/m³ * V
M_c = 5 tonnes/m³ * 500m * (1/3) * S
M_c = 5 tonnes/m³ * 500m * (1/3) * 510 * 10⁶ * k² m²
M_c = 5 * 500 * (1/3) * 510 * 10¹² tonnes
M_c = 425 * 10¹⁵ tonnes

L’énergie reçue et la hausse de température sont reliées par la capacité calorifique (ou chaleur massique) C :
E = C * ΔT

Et donc pour une certaine masse M :
E = c * M * ΔT

Où c est la chaleur massique spécifique (par kg de matière)
Soit :
ΔT = E / (c * M)

On conclut que
-si les océans auront reçu E_o = (2/3) * Eᴬ Joules supplémentaires d’ici 2100
-et vu que leur capacité thermique massique est de ~4000 Joules/K/kg (qu’on suppose constante)
– il auront augmenté de température de

ΔT_o = E_o / (M_o * c_o) = (2/3) * 3,15 * 10²⁴ / (1,37 * 10²¹ * 4000
ΔT_o = +0,383 °c 😀

Et pour les continents:

– s’ils auront reçu E_c = (1/3) * Eᴬ supplémentaires d’ici 2100
– et vu que leur capacité thermique massique est de ~800 Joules/K/kg
– ils auront augmenté de température de

ΔT_c = E_c / (M_c * c_c) = (1/3) * 3,15 * 10²⁴ / (425 * 10¹⁸ * 800)
ΔT_c = +3,08 °c 🥵

Ce qui donne une hausse moyenne globale de
ΔTᴬ = (2/3)*(0,38°) + (1/3)*(3,08°) = +1,2°c 😶

Mais c’est à (delta de) forçage radiatif constant jusqu’en 2100, or on voit qu’il est croissant, il serait facile d’imaginer un scénario où il varie avec le temps : F = F(t)

Avec F(aujourd’hui) = 2 W/m² (ou 3,7 peu importe, il suffit de remplacer)

Scénario B 🥵🥵

Scénario B
Un forçage radiatif croissant est proche/correspond à des émissions qui par exemple stagnent entre 2000 et 2100 : les émissions cumulées (et donc la concentration de GES) sont en croissance linéaire (à l’échelle du siècle, vu le temps de séjour du CO2 dans l’atmosphère).

Si on imagine un scénario B où on passe linéairement de +2 W/m² en 2000 à +4 W/m² en 2100, le (delta de) forçage radiatif F peut être exprimé comme :

F(t) = k * t + C

Dans le système MKS, t doit être exprimé en secondes.

En appellant A la valeur 365*24*3600 = 3,15 * 10⁷, on peut facilement déterminer les constantes k et C :
Avec F(t=2000 = 0) = 2 W/m² ==> C = 2 W/m²
Et F(t=2100 = 0+100*A) = 4 W/m² = k * 100*A + 2 W/m²

==> k = (4-2) / 100*A= 0,02 / A
==> F(t) = (0,02/A) * t + 2 W/m²

La puissance reçue sur la surface terrestre devient :
P(t) = F(t) * S

Et l’énergie totale supplémentaire reçue n’est plus :
E = P * Δt mais
E = ∫ P(t) dt

Ce qui donnerait :
E = ∫ F(t) * S dt
E = S * ∫ ((0,02/A) * t + 2) dt
E = S * [ (0,02/A) * t²/2 + 2t ] entre t=0 et t=100*A
E = S * ( (0,02/A) * (1/2) * 100² * A² + 2*100*A) – 0
E = ( 100*A + 200*A ) * S
Eᴮ = E = 300 * A * S
Et on voit que Eᴮ = (3/2) * 200 * A * S = (3/2) * Eᴬ
Et donc que ΔTᴮ = Eᴮ / (c * M) = (3/2) * Eᴬ / (c * M) = (3/2) * ΔTᴬ

Autrement dit, étant donné que le delta de température est proportionnel en E, et que le reste n’a pas changé, il suffit de les multiplier par la hausse relative de E :
ΔTᴮ_o = (3/2) * ΔTᴬ_o = +0,383°c * 150% = +0,58°c 😅

ΔT_c = +3,08 °c * 150% = +4,7 °c 🥵🥵

Avec une hausse moyenne globale :
ΔT = (2/3)*(0,58°) + (1/3)*(4,7°) = +1,95°c 😎

Mais c’est un modèle-jouet hyper-simplifié qui néglige quantité invraissemblable de facteurs.
Néanmoins, il n’utilise que les concepts de secondaires de :
– relation puissance – energie : 1 joule = 1 Watt * 1 seconde
– capacité thermique : relation chaleur – température : E = C*ΔT
– intégrales de fonctions polynomiales

Scénario C 🥵🥵🥵

On peut imaginer un 3ème scénario où les émissions de GES continuent à croître linéairement jusqu’en 2100, de sorte que les émisisons cumulées, ou la concentration de GES dans l’atmosphère, croissent quadratiquement, et donc le (delta de) forçage radiatif aussi (a priori). En tout cas ce scénario considère un (delta de) forçage radiatif quadratique.

Dans ce cas il s’écrit en toute généralité:
F(t) = Q + Rt + St²

Avec 3 conditions:
1) F(0) = +2 W/m²

2) F(100*A) = +Z W/m² par exemple (en fonction des émissioons projetées). On peut garder cette valeur en paramètre, pour voir de quelle manière il influence le résultat final, et avoir un résultat final valide pour n’importe quelle valeur. Par exemple Z=6 si on impose que le forçage radiatif vaille 6 W/m² en 2100.

3) et dF(t)/dt en t=0 vaut environ +1 W/m² / 100 ans (pente à l’oeil sur base de l’image 1) Cette condition impose la continuité de la pente de la courbe du forçage radiatif en t=0)

Ces 3 conditions permettant de déterminer les constantes Q, R, et S :
==> F(0) = Q = 2 W/m²
==> dF(t)/dt = R + 2*S*t (en t=0) = R = 1 / (100*A)
==> F(100*A) = 2 + (1/100A)*100*A + S*100²*A² = Z
==> S = (Z-2-1) / (100²*A²) = (Z-3) / (100*A)²

La puissance serait de nouveau :
P(t) = F(t) * S

Et l’énergie totale reçue jusqu’en 2100:
E = ∫ P(t) dt
E =∫ F(t) * S dt
E = S * ∫ (Q + Rt + St²) dt
E = S * [ Qt + Rt²/2 + St³/3 ] entre t=0 et t=100*A
E = S * ( Q*100*A + R * 100² * A²/2 + S * 100³ * A³/3 )
E = (100Q + 100²RA/2 + 100³SA²/3) * A * S
E = (100*2 + 100²*(1/100A)*(A/2) + 100³*(A²/3)*((Z-3)/100²A²) ) * A * S
Eᶜ = Eᶜ(Z) = (200 + 50 + ((Z-3)/3)*100) * A * S

Si Z = 6 :
Eᶜ(Z=6) = 350 * A * S = (350/200) * Eᴬ = 175% * Eᴬ

Si Z = 8 :
Eᶜ(Z=8) = 417 * A * S = (417/200) * Eᴬ = 208% * Eᴬ

Et les hausses de témpératures de nouveau obtenues en multipliant par la hausse relative d’énergie reçue. Pour Z=8 :

ΔT_o = 208% * 0,38°c = +0,79 °c

ΔT_c = 208% * 3,08°c = +6,4°c 🥵🥵🥵

Et la hausse globale, toujours pour Z=8 :

ΔT = (2/3)*(ΔT_o) + (1/3)*(ΔT_c)
ΔT = (2/3)*(0,79 °c) + (1/3)*(6,4°c) = +2,66°c 🤔

Un exemple tiré de cette page ⭎:

“Comme vous pouvez le voir, le climat continue à se réchauffer bien après que les concentrations soient fixes (la ligne pointillée verticale). La raison en est l’immense inertie thermique de l’océan. De la même manière qu’il faut beaucoup de temps pour qu’un spa rempli d’eau froide se réchauffe après avoir réglé le chauffage, les océans mettront beaucoup de temps à se réchauffer complètement pour atteindre l’équilibre avec la composition atmosphérique fixe.“

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🔱Structure du triangle de Kaya